Derivasjon

Derivasjonsregler
—————————–
Konstant funksjon : k'=0
Lineær funksjon : (ax)'=a
Potens funksjon : (x^p)'=px^{p-1}

Sum : (u + v )’= u’ + v’
Differanse : (u – v)’=u’ – v’

Produkt : (u \cdot v )' = u \cdot v' + u' \cdot v

Brøk : (\frac{u}{v})'=\frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}

Kjerneregelen : f'(x)= g'(u) \cdot u'
der u er en funksjon av x, og g(u) er en ytre funksjon
Vi deriverer først den ytre funksjonen og ganger med den deriverte av den indre funksjonen.

Eksempel på kjerneregelen :

f(x)=(a^n)^m , u=a^n , u'=na^{n-1}  \rightarrow  f'(x)=m(a^n)^{m-1} \cdot (n \cdot a^{n-1})

f(x)=(2x+1)^2 , u=2x+1 , u'=2  \rightarrow  f'(x)=2(2x+1)^{2-1} \cdot 2= 4(2x+1)

f(x)=(x^2+1)^2 , u=x^2+1  \rightarrow  f'(x)=2(x^2+1) \cdot 2x = 4x(x^2+1)

Eksempeloppgave 1
f(x)=2x^4  \rightarrow  f'(x)=2 \cdot 4 \cdot x^{4-1}=8x^3

Eksempeloppgave 2
f(x)=3\sqrt{2x+7}  \rightarrow
Vi gjør om rottegnet til potens f(x)=3\sqrt{2x+7} = 3(2x+7)^{\frac {1}{2}}

Her må vi bruke kjerneregelen : deriverer den ytre funksjonen først og lar kjernen (2x+7) stå u-derivert, og ganger så med den deriverte av kjernen (2x+7)’=2

f'(x)= 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot (2x+7)^{\frac {1}{2}-1} \cdot 2

f'(x) = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (2x+7)^{-\frac{1}{2}}

f'(x) = 3 \cdot \frac{1}{(2x+7)^{\frac{1}{2}}}

f'(x) = \frac{3}{\sqrt{2x+7}}

Eksempeloppgave 3
f(x)= 2x^4 - 3 \sqrt{2x+7} = 2x^4 - 3 (2x+7)^{\frac{1}{2}}

Vi har ovenfor derivert disse leddene hver for seg, og kan da putte de inn :

f(x)= 8x^3 - \frac{3}{\sqrt{2x+7}}

Videosnutt fra UiO

Legg igjen en kommentar

Din e-postadresse vil ikke bli publisert. Obligatoriske felt er merket med *

Du kan bruke disse HTML-kodene og -egenskapene: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>