Differensiallikninger – Integrerende faktor

Metode : Førsteordens differensiallikninger løs ved integrerende faktor.

En differensiallikning kan være på formen : y'+y=0
Løsningen er y=Ce^{-1}

Vis forklaring »

Denne likningen løses ved å bruke en metode som bygger på regelen om derivasjon av et produkt ((u\cdot v)'=u'v+uv')
Vi utnytter at (e^x)'=e^x og multipliserer likningen med e^x
y'+y=0  |\cdot e^x
y'\cdot e^x+y\cdot e^x=0
Da kan vi bruke derivasjonsregelen baklengs og får :
(y\cdot e^x)'=0
Så tar vi integralet på begge sider, og siden derivert og integral «opphever» hverandre får vi :
y\cdot e^x=\int 0 dx
y\cdot e^x=C
y=Ce^{-1}

Mer generelt kan vi ha en likning på formen : y'+ay=b , der både a og b er konstanter.
Løsningen på denne likningen er : y=\frac{b}{a}+Ce^{-ax}

Vis forklaring »

Vi må her multiplisere likningen med e^{ax}, vi kaller denne den integrerende faktoren – \int a  dx=ax
y'+ay=b
y'\cdot e^{ax}+ay\cdot e^{ax}=b\cdot e^{ax}
(y\cdot e^{ax})'=b\cdot e^{ax}
y\cdot e^{ax}=\int b\cdot e^{ax} dx
y\cdot e^{ax}=\frac{b}{a}\cdot e^{ax} +C
y=\frac{b}{a}+Ce^{-ax}

Vi skal se på flere eksempler som alle kan løses med integrerende faktor

4y'+12y=0
y'+y=x
y'-2y=4x+2
y'+y=sin x

Videosnutt fra UiO

En kommentar til Differensiallikninger – Integrerende faktor

  1. How did you get the tips to compose ““Differensiallikninger
    - Integrerende faktor | Mathbusters”? Regards ,Derek

Legg igjen en kommentar

Din e-postadresse vil ikke bli publisert. Obligatoriske felt er merket med *

Du kan bruke disse HTML-kodene og -egenskapene: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>